क्या पूर्णांक विभाजकों की संख्या के लिए कोई बंद सूत्र है?

परिभाषा। मान लीजिए $\Bbb R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। सेट $\Bbb R$ (या इसका उपसमुच्चय) पर एक बंद सूत्र एक परिमित (तत्वों की संख्या तर्क के मूल्य पर निर्भर नहीं करता है) संयोजन और/या अंकगणितीय संचालन और प्राथमिक कार्यों का सुपरपोजिशन है - शक्ति, घातांकीय, लघुगणकीय, त्रिकोणमितीय, पूर्णांक/भिन्नात्मक भाग लेना, आदि।

कथन। मान लीजिए $\Bbb N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए कि $d(n)$ $\Bbb N$ पर परिभाषित $n$ के सभी विशिष्ट प्राकृतिक विभाजकों की संख्या का एक फलन है। सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सेट पर कोई बंद सूत्र $F(x)$ नहीं है $\Bbb R_+ = \{x\in \Bbb R \mid x>0\}$ जैसे कि $F(x) का प्रतिबंध )$ से $\Bbb N$ $d(n)$ के साथ मेल खाता है।

यदि आप जानते हैं कि दिया गया कथन पूरी तरह से सत्य या गलत है, तो कृपया प्रमाण के लिए एक लिंक प्रदान करें।

उत्तर नहीं है, इसलिए संतोषजनक एक बंद सूत्र मौजूद है आवश्यकताएं। दरअसल, प्रुनेस्कु और सौरास-अल्टुज़रा ने दिखाया कि $d(n)$ के लिए एक बंद फॉर्मूला है जो बाइनरी ऑपरेशंस से बनाया गया है $$x+y,\qquad \max(x-y,0)=\frac{\sqrt{(x-y)^2}+x-y}{2},\qquad \lfloor x/y\rfloor,\qquad x^y .$$